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ABC等于∠CDE等于90°,点F为线段AE的中点,连接DF、BF,判断线段DF、BF的关系并证明.
班里的一小部分学生轻松地做对,但大部分学生扣了分,原因是他们只判断了两条线段的数量关系DF等于BF,没有判断DF、BF的位置关系,即未证明DF⊥BF.做对的同学几乎运用的是直角三角形斜边中线等于斜边一半和等量代换知识.当把这道题在班内讲解完毕后,征求同学建议,还有何收获或质疑时,数学基础好的同学,开始七嘴八舌地展开了讨论,他们说如果让点D运动起来,其他条件不变,图形会发生变化,结论是不变的.这意外的惊喜和感触让笔者发自内心的感觉到：学生的能量真是无穷的,给他们一个支点,他们是会撬动地球的,下面开始探求之旅！
1点D在直线AC上可能的情况
1.如图2,点D在边AC上,E在射线CB上,结论DF等于BF,DF⊥BF成立.
解析利用直角三角形斜邊中线等于斜边一半,可得DF等于12AE,BF等于12AE,所以FD等于FB等于FA.由FD等于FA,得∠1+∠2等于∠4；由FB等于FA,得∠1等于∠3,∠DFE等于2（∠1+∠2）,∠BFE等于2∠1,∠DFB等于∠DFE-∠BFE等于2（∠1+∠2-∠1）等于2∠2等于90°,即DF⊥BF.
解析利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得DF等于12AE,BF等于12AE,FD等于FB.由FD等于FE得∠1等于∠3；由FB等于FE得∠2等于∠4,所以∠DFB等于∠5+∠6等于2（∠2+∠1）等于2∠DEC等于90°,即DF⊥BF.
3.如图4,点D在射线AC上,E在射线BC上,结论DF等于BF,DF⊥BF成立.
解析利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得DF等于12AE,BF等于12AE,所以FD等于FB.由FD等于FE,得∠1+∠3等于∠4；由FB等于FE,得∠1等于∠2,∠AFD等于2（∠1+∠3）,∠AFB等于2∠1,∠DFB等于∠AFD-∠
2.如图6,点D在射线CB上,结论DF等于BF,DF⊥BF成立.
解析尝试倍长线段（发现延长BF和ED交于M较好）,易证△ABF≌△EMF,则AB等于ME等于CB,BF等于FM,因DC等于DE,则DB等于DM,利用等腰直角三角形三线合一,可得DF等于BF,DF⊥BF.
图73.如图7,点D在射线BC上,结论DF等于BF,DF⊥BF成立.
解析延长DF和BA延长线交于点M,易证∠1等于∠2,因∠5等于∠4,FE等于FA,所以△DEF≌△MAF,MA等于DE等于DC.
由BA等于BC,则BD等于BM,利用等腰直角三角形三线合一可得FD等于FB,FD⊥FB.
3点D直线AB上的可能情况
图81.如图8,点D在边AB上,结论DF等于BF,DF⊥BF成立.
解析延长DF到M,使FM等于DF,连接AM,ME,BM,易证四边形ADEM为平行四边形,DE等于AM,DE∥AM,因等腰直角三角形△ABC和△CDE,则DE等于DC,AB等于BC,∠ABC等于∠CDE等于90°,延长CD交AM于N,∠DNA等于90°,所以CD等于AM,∠DAN等于∠DCB,△CDB≌△AMB,∠ABM等于∠CBD等于90°,BD等于BM,在等腰直角三角形△BDM中利用三线合一,得DF等于BF,DF⊥BF.
解析延长BF到M,使FM等于BF,连接AM,ME,MD.易证△AFB≌△EFM,则ME等于AB,ME∥AB.因等腰直角三角形△ABC和△CDE,则DE等于DC,AB等于BC,∠ABC等于∠CDE等于90°,延长EM交CB于点N,∠ENC等于∠CDE等于90°,有内角和为90°,可知∠NCO等于∠OED,所以∠BCD等于∠MED,△CDB≌△EMD,∠EMD等于∠CBD等于90°,MD等于BD,在等腰直角三角形△BDM中利用三线合一,得DF等于BF,DF⊥BF.
解析延长DF到N,使FN等于DF,连接AN,NE,BN.
易证四边形ADEN为平行四边形,DE等于AN,DE∥AN,∠BAN等于∠ADE.因等腰直角三角形△ABC和△CDE,则DE等于DC,则AN等于CD,AB等于BC,∠ABC等于∠CDE等于90°,∠EDA+∠ADC等于90°,∠DCB+∠ADC等于90°,所以∠ADE等于∠DCB,所以∠DCB等于∠BAN,△CDB≌△ABN,∠ABN等于∠DBC等于90°,BN等于BD,在等腰直角三角形△BDN中利用三线合一,得DF等于BF,DF⊥BF.
4点D不在△CAB的边上可能情况
1.如图11,点D在AC右下侧
图11解析延长DF到N,使FN等于DF,连接AN,BN.易证△DFE≌△AFN,DE等于AN,DE∥AN,因等腰直角三角形△ABC和△CDE,则DE等于DC,则AN等于CD,AB等于BC,∠ABC等于∠CDE等于90°.延长AN交CD于K,所以∠CKA等于90°等于∠ABC,利用三角形内角和,可得∠BAN等于∠BCD,则△CDB≌△ABN,∠ABN等于∠DBC,BN等于BD.∠ABN+∠NBC等于90°,∠CBD+∠NBC等于90°,所以,在等腰直角三角形△BDN中利用三线合一,得DF等于BF,DF⊥BF.
2.如图12,点D在AC左上侧
图12解析尝试倍长线段,延长DF到M使FM等于DF,连接AM,易证△EDF≌△AMF,则∠EDF等于∠FMA,AM等于DE等于CD,所以DE∥AM.延长DC,MA交于点Q,连接MB,DB,由∠EDC等于90°,所以∠Q等于90°.因∠AOQ等于∠COB,则∠OAQ等于∠OCB,所以∠MAB等于∠BCD.因AB等于CB,所以△DCB≌△MAB,∠MBA等于∠DBC,DB等于MB.由∠MBA+∠MBC等于90°,
直角三角形论文参考资料：
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