原创《基本不等式与其简单应用》：本论文主要论述了简单论文范文相关的参考文献,对您的论文写作有参考作用。
摘 要：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”,或将“积式”转化为“和式”的放缩功能.在使用基本不等式求最值时,必须具备三个条件：①在所求最值的代数式中,各变量均是正数；②各变量的和或积必须是常数,以确保不等式一边为定值；③等号能取到.以上三个条件简称为“一正、二定、三相等”,它在解题中具有双重功能,既有对条件的制约作用,又有解题的导向作用.另外,使用基本不等式证明问题时,有时要反复使用它们,然后再相加或相乘,这时字母应满足多次使用基本不等式中的等式一致成立的条件.若不一致,则不等式中的等号不能成立.
关键词：基本不等式；证明；最值
基本不等式是人教版高中数学必修五第三章的内容,该内容在高中数学不等式的学习上起到了至关重要的作用,对柯西不等式的应用也打了必要的基础,通过该内容让学生真正体会到数形结合在高中数学学习中的作用.
数学在生活中是有价值的,也是有趣的.基本不等式的几何解释就很令人称奇.可以从中发现很多知识与性质.由此我们在教学中可以给学生加以介绍,以引起学生的兴趣,在基本不等式的使用中带着好奇与不断探索的精神去挖掘它的真谛.
一、通过赵爽弦图理解基本不等式
在初中时,我们可以用一个大正方形中四个全等的直角三角形和一个小正方形的面积与大正方形面积相等做到到勾股定理的简单解释.然后再根据弦图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积关系,解释基本不等式.
四个直角三角形的面积的和小于或等于大正方形的面积,当直角三角形为等腰直角三角形时,四个三角形的面积的和等于大正方形的面积,这就可以解释基本不等式取到等号成立的条件.
二、构造圆中的线段解释不等式
在圆中任取一条直径,在该直径上任取一点,为了体现任意性,我们刚开始要避开圆心,过该点作直径的垂线,利用直角三角形中斜边大于直角边就可以做到到基本不等式的解释,.基本不等式的几何意义“半径不小于半圆”.
当该点为圆心时,等号成立.再次加强不等式等号成立条件的理解.
通过图形做到到不等式的集合解释,为了更准确的感知和理解,再从数学的逻辑方面给出证明,不仅培养了学生严谨的数学态度,而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程.
基本不等式的学习是学生对不等式认知的一次飞跃.在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时,应创造条件.
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值,它们的积应为定值；求两项积的最大值,它们的和应为定值.
等：等号成立的条件必须存在.
三、利用基本不等式求最值
对于没有条件限制的题型,学生常常拿到后就开始使用基本不等式,恰恰忽略了基本不等式中两个变量必须是正数的条件,为了更好地解决此类问题,可以考虑引入双对勾函数,让学生更直观的理解当变量为负数时最值做到情况.
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,又被称为“双勾函数”、"勾函数"等.也被形象称为“耐克函数”.在y轴左边,增减,在y轴右边,减增,是两个勾. 对于双对勾函数,它的单调性与奇偶性有何应用?而值域问题恰好与单调性密切相关,所以首先想到的问题应该与值域有关.因此就由特殊引出了一般结论,继续拓展下去,用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题.双勾函数为最值问题的解决奠定了较强的基础,可以做必要的延伸.
对于要使用多次基本不等式的题型,拿到此类题目,学生会考虑分别使用基本不等式,然后乘在一起,这种思路忽略了等号成立的条件,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的.所以有些题型要先做适量的化简变形,化简后会达到“柳暗花明又一村”的效果.
（一）合理拆分項或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.
（二）当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.
基本不等式中和为定值积有最大值,积为定值和有最小值,往往不是一眼就可以看出,需要进行必要的化简,凑配某些项,想办法让等号成立,借以算出最值.有些基本不等式的使用还会借助放缩法,这在高考中使用比较多,比如柯西不等式也可以和基本不等式交替使用,对不等式的综合应用起到了承上启下的不可估量的作用.
对于一些不能直接使用基本不等式的题型,可以先考虑在不改变题型的内容的前提下凑项,凑项后仍然要关注不等式成立的条件.
四、利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况与常用的方法,其实质就是从已知的不等式入手,借助不等式性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推做到所证问题,其特征是“由因导果”.证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式.通过基本不等式的证明培养学生的逻辑推理能力,通过基本不等式的应用揭示数学的应用价值,增强学生使用数学,热爱数学的精神.
有些题型含有关于“1”的等式,两项虽然都为正,但无法保证乘积为定值,利用条件将“1”进行转化,分离常数后再使用基本不等式,这种方法可以称为基本不等式中“1”的活用,也是一种整体代换思想,通过本题强调积为定值的重要性.当题目中有多个“1”时, 考虑先化其中一部分,化完以后再使用基本不等式,要注意等号成立的条件,可能会分别多次使用基本不等式,所以等号成立会有多个条件.也可先考虑化简,化简后再使用整体代换,将不等式转化为基本不等式的形式.
应用基本不等式的“八种变形技巧”：
（一）凑系数（乘、除变量系数）.（二）凑项（加、减常数项）.（三）调整分子.（四）变用公式：基本不等式有几个常用变形,,不易想到,应重视.（五）连用公式.（六）对数变换.（七）三角变换.（八）常数代换（逆用条件）.
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”,或将“积式”转化为“和式”的放缩功能.在使用基本不等式求最值时,必须具备三个条件：1.在所求最值做到代数式中,各变量均是正数；2.各变量的和或积必须是常数,以确保不等式一边为定值；3.等号能取到.以上三个条件简称为“一正、二定、三相等”,它在解题中具有双重功能,既有对条件的制约作用,又有解题的导向作用.另外,使用基本不等式证明问题时,有时要反复使用它们,然后再相加或相乘,这时字母应满足多次使用基本不等式中的等式一致成立的条件.若不一致,则不等式中的等号不能成立.
新课程标准要求探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.将最基本的不等式列入教学内容,并且突出体现求解不等式模型的基本方法,既防止陷入“繁琐的计算、人为技巧化的难题”,也不“过分强调细枝末节的内容”.
学生的数学学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习,在教学中应该倡导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方法.在基本不等式的教学中,我们要充分发挥学生的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程,提高学生的数学思维能力,为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯.让学生不断地经历直观感知、观察发现、抽象概括、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.
参考文献：
[1]《人教版高中数学必修5》第三章第四节.
[2]徐利治,王兴华编著.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社,1983.
[3]叶艺林,陈德刚.基本不等式及其证明方法.景德镇高考学报,第24卷第4期,2009.12.
简单论文参考资料：
结论：基本不等式与其简单应用为关于对写作简单论文范文与课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文简单论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料下载有帮助。
