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《γ星函数类的FeketeSzego¨不等式》：此文是一篇FeketeSzego论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。

摘 要: 利用星像函数的Fekete-Szego¨不等式,对γ-星 函数类上的系数泛函|a3-μa22|作了精确估计,得到了准确的结果,并给出 利用Hadamard卷积定义的新函数类上的Fekete-Szego¨ 不等式,推广一些作者的结果.

关键词:Fekete-Szego¨不等式; 星像函数;凸像函数;Hadamard卷积

中图分类号:O174.51文献标识码:A文章编号:1672-1098(2010)02-0075-04

The Fekete-Szego¨ Inequality for t he Class of γ-Starlike Functions

ZHOU Cong-hui

(Department of Basic Courses, Lianyungong Technical College, Lianyungang Jiangs u 222006, China)

Abstract: the coefficient of fonctionelle |a3-μa22| on the class of γ -starlike functions isaccurately estimated, by using Fekete-Szego¨ in equality for the class of starlik e functions. The accurate result was obtained. Fekete-Szego¨ inequalities for theclasses of functions defined by Hadamard convolution were obtained, which gener alizes the related results of some authors.

Key words:Fekete-Szego¨ Inequality;starlike functions;c onvex functions;Hadamard convolution

本文设E等于{z∶|z|<1｝,A表示E内形为

f(z)等于z+∑∞n等于2anzn(1)

的全体解析函数组成的类.S表示A中全体单叶函数组成的类,S*、C分别表示通常的星 像函数类、凸像函数类.若函数f(z)∈A,由式(1)给出, 满足

Re(zf′(z)f(z))1-γ(1+zf″( z)f′(z))γ>0γ≥0(2)

记f(z)∈H(γ),f(z)为γ-星函数.

γ-星函数类是由文献[1]引入,后由文献[2]证明了其中函数为星像函数.

设f(z)与g(z)在E中解析,若存在E中解析函数w(z)满足|w(z)|≤|z|且g(z)≡f(w(z)) ,则称函数g(z)从属于f(z),记为g(z)f(z).

若f(z)由式(1)给出,g(z)∈A,g(z)等于z+∑∞n等于2bnzn,则f(z)与g( z)的Hadamard卷积为

(f*g)(z)等于z+∑∞n等于2anbnzn(3)

解析函数类上的系数泛函|a3-ua22|的精确估计首先是由文献 [3]提出,证 明了当f∈S, 且0≤u≤1时,有|a3-ua22|≤1+2exp(-2u1-u). 文献[4-5]研究了星像函数类和凸像函数类的相应问题,得到以下结果:若f∈S*,则 当u≤12时,|a3-ua22|≤3-4u;当12≤u≤1时,|a 3 -ua22|≤1;当u≥1时,|a3-ua22|≤4u-3.若f∈C,则当u≤23时|a3-ua22|≤1-u;当23≤u≤43时,|a3-ua 22|≤13;当u≥43时,|a3-ua22|≤u -1.

本文研究γ-星函数类H(γ)上的Fekete-Szego¨ 问 题,得到准确的结果,推广了一些作者的结果,并给出Hadamard卷积在其上的应用.证明 后面的结果需用到下面的引理.

引理1[6] 设w(z)等于d1z+d2z2+等在z∈E 时解析,且|w(z)|≤|z|,则

|d1|≤1,|d2|≤1-|d1|2

引理2 设p(z)等于1+c1z+c2z2+c3z3等在z∈E 时解析,且满足

p(z)1+z1-z(4)

则

|c2-vc21|≤2-4vv≤0

2 0≤v≤1

4v-2v≥1

证明 由式(4)和从属定义得,存在E内满足|w(z)|≤|z|的解析函数 w(z)等于d1z+d2z2+等,使

p(z)≡1+w(z)1-w(z)

将p(z)等于1+c1z+c2z2+c3z3等和w(z)等于d1z+d2z2+等代入上式,比 较两边幂级数同次幂的系数得

c1等于2d1,c2等于2d2+2d21

则

|c2-vc21|等于|2d2+2d21-4vd21|≤2[|d2|+|1-2v||d 21|]

根据引理1得

|c2-vc21|≤2[1+(|1-2v|-1)|d1|2]

当1-2v≥1,即v≤0时,|c2-vc21|≤2[1+(1-2v-1)]等于2-4v,其等号成立当 且仅当|d1|等于1,d2等于0;当-1≤1-2v≤1,即0≤v≤1时,|c2-vc21|≤2,其 等号成立当且仅当|d1|等于0,|d2|等于1;当1-2v≤-1,即v≥1时,|c2-vc21 |≤2[1+(-1+2v-1)]等于2-4v,其等号成立当且仅当|d1|等于1,|d2|等于0,证毕.

引理2中估计是精确的,v≤0和v≥1时,其极值函数为

p(z)等于1+eiθz1-eiθz0≤θ<2π

0≤v≤1时,其极值函数为p(z)等于1+eiθz21-eiθz2

0≤θ<2π

1 γ-星函数类上的Fekete-Szego¨ 问题

定理1 设f(z)∈A,由式(1)给出,f(z)∈H(γ),则

|a3-ua22|≤9γ+3-u(8γ+4)(2γ+1)(1+γ)2u≤ σ1

12γ+1 σ1≤u≤σ2

-9γ-3+u(8γ+4)(2γ+1)(1+γ)2 u≥σ2

其中

σ1等于2+7γ-γ28γ+4σ2等于4+11γ+γ28γ+4

证 明 由f(z)∈H(γ),可设

p(z)等于(zf′(z)f(z))1-γ(1+zf″(z)f′(z))γ等于

1+c1z+c2z2+c2z3+L(5)

将f(z)等于z+∑∞n等于2anzn代入式(5),比较两边幂级数同次幂的系数得

(1+γ)a2等于c1

(4γ+2)a3等于c2+2+7γ-γ22(1+γ)2c21

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