原创《三维LP图解法仿真设计和实现》：这篇图解法论文范文为免费优秀学术论文范文,可用于相关写作参考。
摘 要：线性规划（Linear Programming, LP）是运筹学中研究较为充分的一个重要分支,应用范围十分广泛,在经济金融、经营管理、工业生产等方面均有应用.它是研究在线性约束条件下线性目标函数极值问题的数学理论.目前对线性规划求解的方法比较成熟,常用的有单纯形法、原始对偶方法和图解法等.其中图解法可以清晰直观地展示求解过程,方便学习者掌握线性规划的概念和细节,以及对对偶原理和灵敏度分析等性质有更深地理解.虽然二维图解法实现相对简单,但三维的仿真实现目前在国内外尚属空白,论文的研究目的即为设计三维图解法仿真模拟程序,使其更好地为教学工作服务,进一步推动线性规划求解算法的发展.
关键词：线性规划 二维线性规划 三维线性规划 图解法
线性规划图解法
1.线性规划
线性规划是对一组决策变量研究在
满足约束条件的前提下,最大化或最小化目标函数的问题,其中约束条件和目标函数均为线性函数,如：
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其中c为n维列向量,称为价格向量或成本向量；■,称为决策变量；b为m维向量,称为右端向量；A为m*n阶矩阵,称为约束矩阵.称■为可行域.线性规划的可行域为凸集.通常我们将最大化目标函数的值作为线性规划的标准形式（最小化问题可看作最大化其负函数,即■）.
在线性规划问题中,决策变量的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解.使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解.这样,一个或多个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）.求解线性规划问题的目的就是要找出最优解.最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解,这只在两种情况下发生,即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）.
2.二维线性规划图解法
二维线性规划图解法的求解过程为：求出并绘制可行域（凸多边形）；找出目标函数下降（上升）方向,并以此为法方向绘制一条和可行域交集非空的初始等值线；沿目标函数下降（上升）方向平移等值线,直至边界.最终等值线和可行域边界的交集作为最优解集,等值线所代表的目标函数值为最优值.
下面我们用一个简单的二维线性规划问题说明图解法的求解过程.
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用图解法求解：
第一步：画出可行域.以x1和x2为坐标轴作直角坐标系,根据不等式的意义求出各半平面的公共部分称为可行域.
第二步：画出等值线.目标函数S等于2x1+5x2在坐标平面表示以S为参数、以■为斜率的一簇平行直线,即■,它的位置随着S的变化平行移动.位于同一直线上的所有点,都使S具有相同的值,所以该直线称为“等值线”.任取一个定点S0便可在坐标平面上画出一条等值线■,如图1所示.
第三步：求最优解.将直线■沿其法线方向向右上方平行移动时,参变量S的值由S0逐步增大.当等值线平行移动到可行域的最后一个点B时,S达到最大值.此时由线性方程组可解得B的坐标（2,3）,故目标函数的最大值S等于19.
对于二维的线性规划图解法,我们很容易在直角坐标系中实现,很容易在教学上演示,但当线性规划提升至三维乃至更高维空间以后,一些简单直观的操作就变得复杂起来,为了更好的研究和演示三维LP图解算法,需要分析图解算法的数学本质,使用精确的数学语言而非自然语言来描述图解算法.
3.三维线性规划图解法
三维LP图解算法在步骤上和二维的相似,但在细节上较为复杂,它的具体步骤可以简述为：
3.1求出并绘制可行域
根据线性规划的基本理论,一个n维空间中线性不等式组的解集一定是个凸多面体（polyhedron）.特别的,如果线性不等式组的解集有界（即对任意的目标系数向量■,有■）,那么该不等式组的解集是一个多胞形（polytope）.由于图解法的特殊性和局限性,在LP图解法中,我们主要求解的是后者.
N维空间多胞形的定义：Q是n维空间Rn中的多胞形,当且仅当Q是Rn中有限点集的凸包,i.e. ■.
在二维平面上的图解法中,绘制可行域其实就是绘制了这个多胞形（限制在二维空间中为多边形）.而绘制多胞形所必需的信息即该多胞形的全部顶点.虽然,在理论上我们已经知道有界不等式系统和多胞形的等价性,但是这个定理的证明本身并没有提供计算多胞形全部顶点的算法.而Danzig所提出的单纯形算法理论,提供了求解这些顶点坐标的理论工具.基于多面体顶点的基本定义,可以简单的得到结论：多胞形的顶点一一对应于任一定义在这个多胞形上线性规划的基本可行解.即：
求解给定线性不等式组对应多胞形的顶点问题等价于求解该多面体上线性规划基本可行解.
基于这个结论,可以得到如下多项式时间的多胞形顶点坐标求解算法：
Step1：对于给定的线性不等式组Ax≤b,考虑其增广矩阵,选取一组极大线性无关行向量组得到和原不等式组等价的不等式组■；
Step2：选取■全部的极大线性无关列向量组,对■的每一个极大线性无关列向量组■,其实是一个满秩的方阵,■即可求得一个基本可行解,即一个顶点的坐标.遍历所有这样的■,就可以求得全部顶点的坐标.
3.2找出目标函数下降（上升）方向,并以此为法方向绘制一条和可行域交集非空的初始等值线
目标函数的下降（上升）方向甚至是梯度方向都是容易求解的,因为目标函数的梯度正是目标系数向量.但是寻找初始和可行域交集非空的等值线则是一件复杂的事情.事实上,初始等值线的选取问题等价于如下问题：
找到■,使得线性不等式组{Ax≤b,cx等于c0}解集非空,即寻找一个原线性规划的初始可行解.在运筹学中,两阶段法是用来构造求解初始可行解的常用手法.两阶段法简要如下：
图解法论文参考资料：
结论：三维LP图解法仿真设计和实现为关于对写作图解法论文范文与课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文测量图解法论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料下载有帮助。
