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《平面向量数形之美》：本文是一篇关于平面向量论文范文，可作为相关选题参考,和写作参考文献。

[摘要]引入平面向量的概念后,几何图形和代数运算得以交融,图形语言的直观美和向量语言的简洁美融会贯通.中学生对平面向量之所以“望而生畏”往往是由于对平面向量的双属性理解不透.通过对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行深入分析,能让学生更好地理解平面向量的数形之美.

[关键词]平面向量；平行四边形；数形结合

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002502

引入平面向量后,全等和平行（平移）、相似、垂直等就可转化为向量的加减法、数乘向量、数量积等运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系,实现“形”和“数”的交融,贯通图形语言的直观美和向量语言的简洁美.课标要求,通过向量知识和方法的学习,学生能理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.实际学习中,学生往往由于对向量的双属性特征理解不透,而畏于处理向量和几何的综合题目.本文对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行分析.

典型例题：已知a和b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题：

P1：|a+b|>1θ∈0,2π3

P2：|a+b|>1θ∈2π3,π

P3：|a-b|>1θ∈0,π3

P4：|a-b|>1θ∈π3,π

其中的真命题是.

分析：此题可运用公式|a|2等于a2、数量积公式及简单的余弦函数知识得出答案.不过,稍加分析不难发现此题实际是一个以单位向量a、b为邻边的平行四边形模型,其实质是保持平行四边形的边长不变,研究角的变化.

如图1所示,不妨设|a+b|等于|AC|,|a-b|等于|DB|.

当|a+b|等于1时,|AC|等于|DC|等于|AD|,即△ADC是等边三角形,

此时∠A等于2π3；

|a+b|>1,意味着线段AC变长,此时θ变小,

即θ∈0,2π3

同理|a-b|等于1时,|AD|等于|AB|等于|BD|,即△ABD是等边三角形,此时

∠A等于

π3

；|a-b|>1,意味着线段BD变长,此时θ变大,即θ∈

π3,π

变式1：向量a,b满足：|a|等于|b|等于|a+b|等于1,则|a-tb|（t∈R）的最小值是.

分析：在平行四边形ABCD中,|AB|等于|AD|等于

|AC|等于1,∠DAC等于∠BAC等于60°,∠A等于120°.由向量减法的三角形法则可知,向量a-tb的起点在

直线DA上,终点是点B.|a-tb|就是指B点和直线DA上任意

点之间的线段长度.

过点B引直线DA的垂线BH交DA于点H（如图2所示）,

则|a-tb|的最小值就是垂线段DH的长,即32.

变式2：已知a、b、c是单位向量,且|a+b|等于3,

则（a-c）·（b+c）的取值范围是.

分析：如图3所示,在菱形ABCD中,|AD|等于|DC|等于1,

|AC|等于3.直角三角形△AMD中,cos∠DAM等于32

,则∠DAM等于30°,

所以∠A等于60°,|DB|等于1,

即|a-b|等于1.

又（a-b）·c等于|a-b|·|c|cosθ（θ是a-b和c的夹角）,且-1≤cosθ≤1.

所以-1≤（a-b）·c≤1,

所以（a-c）·（b+c）等于a·b+（a-b）·c-1等于（a-b）·c-12,

所以（a-c）·（b+c）的取值范围是-32

变式3：若a,b是两个非零向量,且|a|等于|b|等于

λ|a+b|,λ∈22,1

,则向量b和a-b夹角的取值范围是.

分析：在平行四边形ABCD中,当∠BAC从0°增大到180°时,|AC|从2|a|连续减小到0,同时|DB|从0连续增大到2|a|,当然∠ADB亦是连续变化.因此,只需计算λ等于22

及λ等于1的情况即可.

当λ等于22时,∠D等于90°,则∠ADB等于45°,此时b和a-b的夹角是135°.

当λ等于1时,∠D等于60°,则∠ADB等于30°,此时b與a-b的夹角是150°.

所以,b和a-b的夹角的取值范围是

3π4,5π6

变式4：已知向量a、b满足：cos〈a+b,a〉等于12,

cos〈a+b,b〉等于22,则|a||b|等于.

分析：此题仍然是一个平行四边形模型,本质是保持角度

不变,研究边的相关问题.如图4所示,平行四边形ABCD中,AB等于a,

|AD|等于b,则a+b等于AC

,所以∠DAC等于π4,

∠BAC等于π3,

在△ABC中,由正弦定理可得

|a||b|

等于|AB||AC|等于

sinπ4

sinπ3

等于63

可以看到,基于向量的加减法、数乘向量和数量积

等运算,用向量语言来表述图形关系具有很强的简洁

性.比如向量式

a等于λb中就蕴含一组平行关系；向量式a+b则指代一个平行四边形；而向量式（a+b）·（a-b）等于0中,则包含一个菱形；向量式|a+b|等于|a-b|则暗含一个矩形；向量式|a|等于|b|等于|a+b|,则蕴含一个内角是120°的菱形；向量式a·b等于0中即可找到一个圆,又可找到矩形.看到如此精美的向量式,就需要看到它所蕴含的几何图形,如此便可将向量的简洁美和图形的直观美合二为一,灵活应用向量的双属性特征解决综合问题.

[参考文献]

[1]秉正.几何问题向量构筑——探析平面向量的几何意义[J].新高考（高一数学）,2017（1）.

[2]薛红利.平面向量运算的几何意义在解题中的应用[J].数学学习和研究（教研版）,2017（7）.

[3]王仁朋.平面向量数量积几何意义的一类应用[J].中学生数理化（学习研版）,2017（6）.

（责任编辑黄桂坚）

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