原创《一题多解不等式证明》：本论文可用于不等式论文范文参考下载，不等式相关论文写作参考研究。
不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合.证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉*法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
例1 证明不等式[1+12+13+等+1n<2n]（[n∈N*]）.
命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目,考查大家的观察能力、构造能力以及逻辑分析能力.知识依托：本题是一个和自然数[n]有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.
错解分析 此题易出现下列放缩错误：
[1+12+13+等+1n<1n+1n+…n个+1n=nn=n<2n]
这种只注重形式的统一,而忽略大小关系的错误也是经常发生的.
证法一 （1）当[n]等于1时,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立.
（2）假设[n等于k（k≥1）]时,不等式成立,
即1+[12+13+等+1k]<2[k],
[则1+12+13+等+1k+1<2k+1k+1]
[等于2k（k+1）+1k+1 ∴当[n等于k+1]时,不等式成立. 综合（1）（2）得,当[n∈N*]时,都有1+[12+][13+等+1n]<2[n]. 另从k到k+1时的证明还有下列证法： [如：∵2（k+1）-1-2k（k+1）等于k-2k（k+1）+（k+1）] [等于（k-k+1）2>0,] [∴2k（k+1）+1<2（k+1）.] [∵k+1>0,] [∴2k+1k+1<2k+1.] [又如：∵2k+1-2k等于2k+1+k] [>2k+1+k+1等于1k+1,] [∴2k+1k+1<2k+1.] 证法二 对任意[k∈N*],都有, [1k等于2k+k<2k+k-1=2（k-k-1）,] [因此1+12+13+等+1n] [<2+2（2-1）+2（3-2）+…+2（n-n-1）] [等于2n.] 证法三 设[f（n）等于2n-（1+12+13+等+1n）,] 那么对任意[k∈N*]都有, [f（k+1）-f（k）等于2（k+1-k）-1k+1] [等于1k+1[2（k+1）-2k（k+1）-1]] [等于1k+1?[（k+1）-2k（k+1）+k]等于（k+1-k）2k+1>0.] ∴[f（k+1）>f（k）]. 因此,对任意[n∈N*]都有, [f（n）>f（n-1）>等>f（1）]等于1>0. ∴[1+12+13+等+1n<2n.] 点拨 证法一采用数学归纳法从[n等于k]到[n等于k+1]的过渡采用了放缩法；证法二先放缩,后裂项,有的放矢,直达目标；而证法三运用函数思想,借助单调性,独具匠心,发人深省. 例2 求使[x+y]≤[ax+y][（x>0,y>0）]恒成立的[a]的最小值. 命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及大家的逻辑分析能力.知识依托：本题实质是给定条件求最值的题目,所求[a]的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把[a]呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值. 错解分析 本题解法三利用三角换元后确定[a]的取值范围,此时我们习惯是将[x,y]和[cosθ,sinθ]来对应进行换元,即令[x等于cosθ],[y]等于sinθ（0<θ<[π2]）,这样也得a≥sinθ+cosθ,但是这种换元是错误的.其原因是： （1）缩小了[x,y]的范围；（2）这样换元相当于本题又增加了“[x,y=]1”这样一个条件,显然这是不对的. 解法一 由于[a]的值为正数,将已知不等式两边平方得, [x+y+2xy≤a2（x+y）],即[2xy≤（a2-1）（x+y）] ① ∵[x,y>0], ∴[x+y≥2xy]. ② 当且仅当[x等于y]时,②中等号成立. 比较①②得,[a]的最小值满足a2-1等于1. ∴a2等于2,a等于[2]（因a>0）. ∴a的最小值是[2]. 解法二 设[u等于x+yx+y等于（x+y）2x+y] [等于x+y+2xyx+y等于1+2xyx+y], ∵[x>0,y>0], ∴[x+y≥2xy]（当[x等于y]时,“等于”成立）. ∴[2xyx+y]≤1,[2xyx+y]的最大值是1. 从而可知,[u]的最大值为[1+1等于2], 又由已知得,[a≥u], ∴[a]的最小值为[2]. 解法三 ∵[y]>0, ∴原不等式可化为[xy]+1≤[axy+1]. 设[xy]等于tanθ,θ∈（0,[π2]）, ∴tanθ+1≤[atan2θ+1],即tanθ+1≤asecθ. ∴a≥sinθ+cosθ等于[2]sin（θ+[π4]）. ③ 又∵sin（θ+[π4]）的最大值为1（此时θ等于[π4]）, 由③式可知,a的最小值为[2]. 点拨 除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若参数[a]满足不等关系,[a≥f（x）],则[amin等于f（x）max]. 若[a≤f（x）],则[amax等于f（x）min],利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用得恰到好处,可以将原问题转化后再处理. 不等式论文参考资料： 结论：一题多解不等式证明为关于本文可作为不等式方面的大学硕士与本科毕业论文不等式题目及答案50道论文开题报告范文和职称论文论文写作参考文献下载。
