关于等边三角形论文范文资料 与何时宜作辅助等边三角形有关论文参考文献

《何时宜作辅助等边三角形》：这篇等边三角形论文范文为免费优秀学术论文范文,可用于相关写作参考。

解什么样的几何问题时,比较适合作辅助等边三角形呢?通过在解题实践中摸索,我认为：至少在以下四个方面是可以尝试作辅助等边三角形的．

1 在等腰三角形的基础上尝试作等边三角形

在已知的等腰三角形的基础上适时地作出辅助等边三角形,让图形的一般性与特殊性有机地结合起来,能够产生更多的线段相等、角相等,为我们解题所用．

例1 如图1,在△ABC中,AB等于AC等于8,∠BAC等于80°,P为△ABC内一点,且∠PBC等于10°,∠PCB等于30°.求PB的长.

解法1 以等腰△ABC的底边BC为边长作等边△BCE(如图1),连接AE,则EA⊥BC,所以 ∠BEA等于30°等于∠BCP,∠ABE等于60°-50°等于10°等于∠PBC,BE等于BC,所以△BAE≌△BPC,所以 PB等于AB等于8．

解法2 以等腰△ABC的腰AB为边长作等边△ABF(如图2),连接CF,则△ACF为等腰△,∠CAF等于80°-60°等于20°,所以∠ACF等于80°,∠BCF等于80°-50°等于30°等于∠BCP,∠CBF等于60°-50°等于10°等于∠PBC,所以△BFC≌△BPC,所以 PB等于BF等于AB等于8．

解法3 以等腰△的腰AC为边长作等边△ACG(如图3),以下过程与解法二相同．

像这样的题比较特殊,在等腰△ABC的基础上作辅助等边三角形,是“边边”有缘,殊途同归. 不过,在一般情况下,还是以方法一为宜,因为作与等腰三角形共底的等边三角形,可以充分应用“三线合一”的性质．

例2 如图4,在△ABC中,∠BAC等于∠BCA等于44°,M为△ABC内一点,使做到∠MCA等于30°,∠MAC等于16°,求∠BMC的度数．

解 以AC为边长作等边△ACE,连EB,则EB⊥AC,∠AEB等于∠CEB等于30°．所以∠AEB等于∠ACM,又∠EAB等于60°-44°等于16°等于∠CAM,AE等于AC,所以△ABE≌△AMCAB等于AM

∠AMB等于∠ABM等于［180°-(44°-16°)］÷2等于76°．因为∠AMC等于180°-16°-30°等于134°,所以∠BMC等于360°-76°-134°等于150°．

2 在60°的角的基础上尝试作辅助等边三角形

利用已知条件中60°的角尝试作辅助等边三角形,让图形中隐含的元素关系凸显出来,为我们解题所用．

例3 如图5,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、BA的延长线上,且AE等于BD.求证：CE等于DE．

证明 延长BD至F,使BF等于BE,连EF,则△BEF(如图5)是等边△,所以BE-AE等于BF-BD,即AB等于DF,所以BC等于FD．

又∠B等于∠F,BE等于FE,所以△BCE≌△FDE,所以CE等于DE．

还可以以BD为边长作辅助等边△BDG,然后证△ACE≌△GED,从而做到出CE等于DE．

不管是哪种方法,都是在60°的∠B上做文章——作辅助等边三角形.

变式：如图6,已知△ABC是等边三角形,点D在边BC上,点E地BA的延长线上,且AE等于BD.结论CE等于DE还成立吗?

例4 如图7,在六边形ABCDEF中,对角线AD、BE、CF相交于点O,且AD等于BE等于CF等于2,∠AOB等于∠COD等于∠EOF等于60°,S为△AOB、△COD、△EOF面积的和,试比较S与3的大小．

分析 由于已知条件中出现了60°的角和相等的线段,于是,我们可以选取相等的线段长为边长,在一个60°角的基础上作辅助等边三角形,将没有直接联系的△AOB、△COD、△EOF包含其中．

解 延长OA至M,使AM等于DO,延长OB至N,使BN等于EO,连MN,则OM等于OA+AM等于OA+DO等于AD等于2,同理ON等于2,又∠AOB等于60°,所以△OMN是等边三角形,在MN上截取MQ等于OC,连BQ、AQ,则NQ等于MN-MQ等于CF-OC等于FO,所以△MQA≌△OCD,△NQB≌△OFE．

所以S等于S△AOB+S△COD+S△EOF等于S△AOB+S△MQA+S△NQB

3 在已知的角与60°存在关联时尝试作辅助等边三角形

若已知角的度数分别与60°进行简单计算后其结果相等时,我们就可以在这样的已知角的基础上尝试作辅助等边三角形,产生新的角相等,线段相等,为我们解题所用.例如在直角中有15°或75°时,就有(90°-60°)÷2等于15°或75°-60°等于90°-75°等于15°等．

例5 如图8,在等腰直角△ABC中,∠BCE等于∠CBE等于15°,求证：AB等于AE．

解法一如果从已知角的度数出发,就可以在75°的∠ABE内作等边△BEF(如图8),

连AF,证△ABF≌△BCE,再证△ABF≌△AEF,所以AB等于AE.

解法二如果从等腰△BCE出发,就可以以BC为边作等边△BCG,(如图9)连AG、EG,则GE⊥BC,所以GE∥AB,

又∠ABE等于∠BAG等于75°,所以四边形ABEG是等腰梯形,所以AE等于BG等于AB．

例6 如图10,在四边形ABCD中,已知∠ABD等于12°,∠DBC等于36°,∠ACB等于48°,∠ACD等于24°.试求∠ADB的度数．

分析 从表面上看,本题已知角与60°的关联没有例5那样明显,但仔细观察后,不难发现;60°-∠ABD-∠CBD等于∠ABD等于12°,∠DCA+∠BCA-60°等于60°-∠BCA等于12°,即以BC为边长作辅助等边△BCE,就可做到到∠EBA等于∠DBA等于∠DCE等于∠ACE等于12°.这些等角可以帮助我们解决问题．

解以BC为边长作等边△BCE,连AE,因为∠CBA等于∠DBA+∠DBC等于∠ACB等于48°,所以AB等于AC ,所以EA⊥BC ,∠AEB等于∠AEC等于30°．

因为∠BDC等于180°-∠DBC-∠BCA-∠ACD等于72°,∠BCA+∠ACD等于72°,所以BD等于BC等于BE．

因为∠EBA等于60°-12°-36°等于∠ABD等于12°,所以△DBA≌△EBA,所以∠ADB等于∠AEB等于30°．

4 在求动线段最值时尝试作辅助等边三角形

在求有关动线段或者有关动线段的和差最值时,我们一般采用的是作对称辅助线方法,其实,也可以尝试作辅助等边三角形. 利用等边三角形的性质来传递等量,汇聚条件,求出最值. 如：

例7 已知:在△ABC中,BC等于a,AC等于b,以AB为边长作等边△ABD, 如图11,当∠ACB变化时,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数．

解 以CD为边长作等边△CDE(如图11),连接AE,可证△DAE≌△DBCAE等于BC,所以CE当点E、A、C在一条直线上时(如图12),CD最大值等于a+b．

此时∠BCD等于∠AED等于∠ACD等于60°,所以∠ACB等于120°．

因此当∠ACB等于120°时,CD有最大值a+b ．

例8 已知点P是锐角△ABC内一点,且使PA+PB+PC最小,试确定点P的位置,并证明你的结论．

解 分别以AC、BC为边长向形外作等边△ACD、△BCE,如图13,连接AE、BD相交于点P,则点P为所求．

事实上,易证△ACE≌△DCB∠CAE等于∠CDB,所以A、P、C、D四点共圆∠APD等于∠CPD等于60°,在PD上截取PM等于PA,连AM,则△APM为正三角形,再证△AMD≌△APCMD等于PC,所以PA+PB+PC等于PM+PB+MD等于BD(定值).

证明 在△ABC内任取一点F(异于点P),如图14,连接FA、FB、FC,以AF为边长作等边△AFG,连接GD,易证△AGD≌△AFCGD等于FC,所以FA+FB+FC等于FG+FB+GD>BD.因此,点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小.

著名的数学教育家G•波利亚在谈到解题方法时说：“使用过两次的巧计可以作为一种方法记下来.”前面举的例子足以说明‘作辅助等边三角形’是一种行之有效的解题方法,我们应该把它存储在脑海里,运用到解题中．

作者简介参见本刊2011年第6期第62页

等边三角形论文参考资料：

结论：何时宜作辅助等边三角形为适合不知如何写等边三角形方面的相关专业大学硕士和本科毕业论文以及关于等边三角形论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料下载。