原创《一道高考试题解法赏析和溯源拓展》：本论文为您写高考试题毕业论文范文和职称论文提供相关论文参考文献，可免费下载。
1试题再现和分析
2016年四川卷（文数）第20题：已知椭圆E：x2a2+у2b2等于1（a﹥b﹥0）的一个焦点和短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P（3,12）在椭圆E上.（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为12的直线l和椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM和椭圆E交于C,D,证明：AM·BM等于MC·MD
不难得（Ⅰ）方程为：x24+y2等于1；而（Ⅱ）所证结论较有意思,让我们联想到圆的相交弦定理.其证法有多种,下面先赏析其解法,供参考.
2解法赏析
从设直线方程的常规视角考虑,即基本方法,即得如下解法.
证法一如图1,设直线AB方程为y等于12x+m,由AB和椭圆相交,则y等于12x+m,
x24+y2等于1,则得x2+2mx+2m2-2等于0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则Δ等于4m2-8m2+8>0m2<2,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,故中点坐标M（-m,12m）,则CD方程为y=-12x,由CD与椭圆相交则x24+y2=1,
y等于-12x,x等于2,
y等于-22,或x等于-2,
y等于22,则C（-2,22）,D（2,-22）,由C、M、D三点共线,则MC·MD等于CM·MD等于（-m+2）（2+m）+（12m-22）（-22-12m）等于54（2-m2）,又M为AB中点,则AMBM等于14AB2等于14[1+k2AB（x1+x2）2-4x1x2]2等于14（1+122）（4m2-8m2+8）
等于54（2-m2）,即AM·BM等于MC·MD.
由于M为弦AB中点,可利用点差法；又联想到参数方程求解弦长乘积有着独到的优势,从此视角考虑可利用参数方程加以解决,则有解法二.
证法二设直线AB和椭圆两交点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则有x214+y21等于1等等①,x224+y22等于1等等②,①-②得：（x1-x2）（x1+x2）4等于-（y1+y2）（y1-y2）.设AB中点M（x0,y0）,AB斜率为k,则k等于y1-y2x1-x2等于-x1+x24（y1+y2）等于-x04y0等于12y0x0等于-12,则直线CD斜率为kCD等于y0x0等于-12,AB的参数方程为x等于x0+tcosθ,
y等于y0+tsinθ,（其中cosθ等于55,sinθ等于255,t为参数）,将之代入椭圆方程化简得
（4sin2θ+cos2θ）t2+（2x0cosθ+8y0sinθ）t+x20+4y20-4等于0,不妨设A,B对应参数分别为t1,t2,则AM·BM等于t1t2等于x20+4y20-44sin2θ+cos2θ,考虑到CD和AB直线斜率为相反数,则CD参数方程只需将θ换成π-θ,设C,D对应参数分别为t3,t4则同理可得MCMD等于t3t4等于x20+4y20-44sin2（π-θ）+cos2（π-θ）等于x20+4y20-44sin2θ+cos2θ,显然AMBM等于MCMD.
要说明的是参数方程在此处应用可说是大大简化了运算量,让人印象深刻！
考虑到AB,CD两直线和椭圆相交于四点,从曲线束的视角考虑也可妙解此题.
证法三同证法二,可得kCD等于-12,设AB方程为：y等于12x+m,且CD方程为y等于-1[]2[SX）]x,将直线AB,CD组合看成二次曲线C,方程为（x+2y）（x-2y+2m）等于0由于曲线C和椭圆E相交于A、B、C、D四点,则过A、B、C、D四点的二次曲线束可设为x2+4y2-4+λ（x+2y）（x-2y+2m）等于0等（1）,又设AD,BC直线方程分别为a1x+b1y+c1等于0和a2x+b2y+c2等于0,则AD,BC组合看成二次曲线G：（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）等于0等（2）,由曲线G也过A、B、C、D四点,则二次曲线束也可表示AD,BC两直线组成的二次曲线G,比较方程（1）（2）,由于方程（1）整理后无xy项,则方程（2）xy项系数也为0,即a1b2+a2b1等于0,由题意知b1b2≠0,则有a1b1+a2b2等于0,则直线BC和直线AD斜率kBC+kAD等于0,如图2,则知∠3等于∠4,又∠1等于∠2,则∠3-∠1等于∠4-∠2,图2即∠BCM等于∠DAM,又∠CMB等于∠AMD,则∠CBM等于∠ADM,即△BMC∽△DMA,AMMC等于MDBM,即AM·BM等于MC·MD.
利用二次曲线束,结合相似三角形线段成比例,绕过弦长的计算,独辟蹊径,让人拍案称绝！3试题溯源拓展
由上面*明我们发现,最终保证“椭圆相交弦定理”结论成立的必要条件是直线AB和直线CD斜率互为相反数.溯其源流,在新课标选修44第38页例4中找到源头,即为椭圆中相交弦定理.
定理1[1]过椭圆内部一点M作两条相交弦AB和CD,且直线AB和CD斜率互为相反数,则有AM·BM等于MC·MD.
此相交弦定理可推广到双曲线和抛物线,见图3、图4,即得
定理2双曲线两条相交弦AB和CD交于一点M,且直线AB和CD斜率互为相反数,则有AM·BM等于MC·MD.
定理3抛物线两条相交弦AB和CD交于一点M,且直线AB和CD斜率互为相反数,则有AM·BM等于MC·MD.
上述定理的证明可参照上面证明中证法二和证法三,此处略.
由此试题提醒我们中学老师在平时教学时应重视课本教学,应固本思源,同时注意引导学生挖掘典型题,多角度进行变式教学,才能使我们的学生在未来的高考舞台中,游刃有余,笑傲考场！
参考文献
[1]普通高中课程标准实验教科书数学（选修44）[M].北京：人民教育出版社,200712：38
高考试题论文参考资料：
结论：一道高考试题解法赏析和溯源拓展为适合高考试题论文写作的大学硕士及相关本科毕业论文，相关2018高*已经有了开题报告范文和学术职称论文参考文献下载。
