原创《几何篇:折出点线面体》：这是一篇与点线面论文范文相关的免费优秀学术论文范文资料,为你的论文写作提供参考。
【编者的话】不深入接触折纸你可能永远也想不通,如此简单的一张白纸能够用来做些什么?折纸有何神奇之处?小时候你折纸可能更加偏重于折些简单的小动物、小物件等,在今天看来,或许已经不那么神奇,但这其实只是你的误解.这次的主题是折纸与数学,自然不那么简单,希望能让你再次惊叹于折纸的无穷魅力.
1.折出定比分点
正方形的纸随意一折,一般能出现一个（凹）九边形,如图1.
如果稍微约束一下随意性,保证折痕经过中心点,那会产生什么奇妙的现象吗?
这个问题很值得研究.
结果发现,如果边的叠合点是各自边上的有理定比分点,那么折痕经过的点也必是某个有理定比分点.从而折叠产生任意的有理定比分点都变得有章可循.
命题 如图2,AD+DC 等于1,∠C 等于90.,AB等于BC等于x.则CD等于（1-2x）/（2-2x）
证 由折叠方法可知,AB+BD+DC 等于1.设CD 等于y,在△BCD中由勾股定理,x2+y2 等于（1-x-y）2.化简为1-2x-2y+2xy 等于O,从而y等于（1-2x）/（2-2x）证毕.
从以上结论看出,如果x是个分母为2n的单位分数（分子为1的分数）,即x等于1/2n,那么y的值就是（n-1）/（2n-1）,说明由B点这个2n等分点,得到了D这个2n-1等分点.
例如要分纸的一边为7等分,那就先把它一组邻边8等分,将两边的第一个等分点叠合起来得到的折痕就过某个7等分点.确切说,这时D是4：3分点.
一般地,对于某个素数N,欲N等分正方形的边,我们必先得到边的N+l等分.因为这是个偶数,所以就只须折叠得到（N+1）/等分.这是较小的一个整数,我们可以继续利用类似的思路,即“偶数÷2,奇数+1”的策略,最终化归得出任何素数的等分点折法.合数的等分点只要依次把每个素数因子等分,就可以实现了.
2 对数螺线怎么折
对数螺线是由笛卡儿在1638年发现的,雅各布·伯努利后来重新研究,他十分惊叹和欣赏这曲线的特性,故要求死后将之刻在自己的墓碑上,并附词“纵使改变,依然故我”.可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去,不得不说是一种遗憾,
这是一种神奇的螺线,可以在自然界中找到很多类似的例子,如鹦鹉螺的贝壳、蜘蛛网的构造、漩涡星系的悬臂等.感兴趣的同学,可以阅读《数学文化素质教育资源库》的相关内容,而今天,我们将在常博士的带领下,看看如何用一张普通的纸折出近似的对数螺线.
(一)初步尝试
通过折叠一张纸就能实现初步模拟对数螺线！怎么折?先來学学吧,准备一张A4纸,折起45°角,得到一个等腰三角形,如图1所示.
沿着折痕剪下这个等腰三角形纸片,我们的螺旋折纸就从这个等腰三角形纸片开始.
第一步折叠：沿等腰三角形的中位线,将顶角折向底边.同时注意观察：经过折叠,我们得到的是一个等腰梯形,它的钝角顶点是135°.
接下来我们要折的过程是一系列类似的操作.
先来看第二步折叠如何操作.
这一步的折叠得到的是一个凹六边形.折法是让上底的右端点与下底的中点对合折叠.从效果看,折痕正好与右腰平行,翻转的部分是一个平行四边形.
如图3,折叠示意图中画了圆圈的两点其实可看成是一个大的平行四边形的两个相对的钝角！注意到这个巧合性,我们就感到有趣了！
我们的第三步折叠就是继续将折起来的平行四边形中两个钝角对合折叠.效果如图4.
已经猜到第四步怎么折了?继续叠合上步操作得到的平行四边形的两个钝角.完全正确！你可以操作第五步、第六步、第七步等直至无穷（如果真有那么大的纸张的话）.
事实上,另外还限于手工制作的精细度极限,纸变小的过程只能到第十步左右为止.让我们看看电脑绘制的更精细的完成图,如图5所示.
实际上,我们得到了一个类似长裙的裙摆的结构,它像杨丽萍跳孔雀舞时穿的服装,更像是一个摩登的螺旋式台阶的空中俯瞰图.
这款折纸是从台湾的李政宪老师那里学来的,不过稍微加了些变化.
数学上如何看待这个折纸呢?在数学上,我们把每隔一个固定的角度,点到出发起始点的距离就拉伸一个固定的比例,这样的点的运动轨迹叫对数螺线.
在生活中很多地方都有对数螺线的身影：葵花籽在向日葵花头上的排列,鹦鹉螺的壳上的花纹,热带气旋的卫星云图,等等.它们都有统一的数学表达式：p 等于eaθ.
最后我们来欣赏一下我们的折纸与对数螺旋在多大程度上近似,请看图6.
(二)再次改进
在（一）中,我们尝试着折出了对数螺线的模拟图,但是效果外观并不十分尽如人意,这条螺线与实际的贝壳螺线还有距离.为此,我们还要进一步分析和思考,能否折出如图7中鹦鹉螺那样具有不同参数a的对数螺线p 等于eaθ的问题.
在这个问题上,日本折纸艺术家布施知子（ TomokoFuse）已有一个如图8的设计.她用正方形纸折出顶角为45°的等腰三角形,折痕中有许多平行于底边的平行线.不过她的这些平行线折痕没有充分考虑到螺线的等比性.
现在我们用数学中等比级数的概念来设计,达到更合乎自然界鹦鹉螺的外观.请先如下列图9所示裁剪A4纸为两个筝形.
图9裁剪出的两个筝形可以分别独立制作成两个鹦鹉螺.以其中一个为例,折痕图如图10所示.
这些折痕的产生规律是这样的：将筝形的钝角沿着两直角间对角线折向对称轴得到第一条谷线.然后沿着折起的钝角的两边折出两道山折.此后每次折叠都是折这三道折痕的平行线.到末尾阶段可以留一截不再折下去.
在成型阶段,需从锐角顶点开始收.将头上没有折过的地方剪去,然后按预先设计好的山线和谷线来折.形象地说,就是渐渐卷曲使得纸按既定折痕蜷缩成螺的样子.
点线面论文参考资料：
结论：几何篇:折出点线面体为适合点线面论文写作的大学硕士及相关本科毕业论文，相关点线面开题报告范文和学术职称论文参考文献下载。
